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北京赛车反水高的网站:金融工程ppt郑振龙下载

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金融工程ppt郑振龙

金融工程ppt郑振龙免费下载是由PPT宝藏(pk10分析软件 www.deufs.com)会员yangting上传推荐的其他PPT, 更新时间为2018-04-18,素材编号285958。

这是金融工程ppt郑振龙,包括:什么是金融工程?金融工程技术框架,《金融工程学》内容安排,金融工程简介,学科的发展历程等等内容,欢迎点击下载。

金融工程简介
学科的发展历程
描述性阶段       计量阶段
什么是金融?
??什么是金融?什么是金融学?
“Finance”是什么?
“Finance”包含的内容:
中国的“金融”与“金融学”
国外的“Finance”
国内对“Finance”的认识
(1)微观金融学(Finance)
公司金融
投资学
证券市场微观结构
(2)宏观金融(Macro Finance)
(3)金融学和其他学科的交叉学科
金融工程学
法和金融学
什么是金融工程?
什么是金融工程?
金融工程包括创新新型金融工具与金融手段的设计、开发与实施,以及对金融问题给予创造性的解决。
                ——芬纳蒂观点(1988)
马歇尔认为这一定义是最好的,并对其中的“创新”与“创造性”作出新的阐述:
①金融领域中思想的跃进;
②对已有观念作重新的理解与运用;
③对已有的金融产品进行分解与重新组合。
什么是金融工程?
金融工程有广义和狭义两种涵义。
广义:指将工程思维引入金融领域,综合地采用各种工程技术方法(主要有数学建模、数值计算、网络图解等)设计、开发和实施新型的金融产品,创造性地解决各种金融问题。
狭义:是组合金融工具(主要包括形形色色的金融衍生工具)和风险管理技术的研究。广义的金融工程涵盖了狭义的金融工程,但就技术层面而言,狭义的定义扣住了金融工程的核心部分。                         
                              ——宋逢明观点
总结
金融工程学是交叉学科。
金融工程是创造新金融工具的过程。
金融工程是运用金融工具的技术。
金融工程是创新或运用金融产品,解决金融问题。
对金融工程的理解
两个最基本的思维方式
(1)以问题为导向的思维方式,一切金融问题的解决应通过金融市场来解决,金融创新要根据市场的需要,以解决金融问题为目的;
(2)创新的思维方式,但在金融工程中,创新具有更深的含义,对于一个金融工程师来说利用金融工程技术,在特定的经济环境下,可对任何金融问题设计出一个最优的方案(至少是一个满意的方案)。
金融工程技术框架
金融工程学是否有理论?
技术的三个基本构成部分:
理论、工具和工艺
是什么?
解决金融问题方法的理论基础应是与金融市场相关的思想和理论,这正是现代金融理论的核心所在。
金融工程的工艺技术
金融工程定价技术
无套利均衡定价技术
(1)静态无套利均衡定价方法
(2)动态无套利均衡定价方法
离散型:二叉树法、三叉树法
连续性:Black-Scholes期权定价法
金融工程的工艺技术(续)
组合分解
(1)组合与合成:
组合技术:利用基本的金融工具作零件来组装成具有特定流动性和收益/风险特性的金融产品。
合成技术:指按设计要求对构成金融工具基本要素中几个要素进行合成,从而设计出新的金融产品的过程和方法。
(2)分解
剥离:本金和利息剥离
分割:对金融产品的收益和分险进行分割
分拆:改变现金流的大小和发生的时间
金融工程技术应用
交易行为
(1)套期保值行为
(2)投机行为
(3)套利行为
(4)构造组合
交易策略
(1)套期保值策略
(2)投机策略
(3)套利策略
课程结构
绪论 金融工程简介
第一篇   金融工程理论
第一章  估值理论与市场效率理论
第二章  资产组合理论与资本资产定价模型
第三章  套利、套利定价理论与无套利均衡分析法
第二篇  金融工程定价技术
第四章  静态无套利均衡定价分析
第五章  动态无套利均衡定价分析:离散型
第六章  动态无套利均衡定价分析:连续型
第七章  风险中性定价分析
第三篇 金融工程技术运用策略
第八章  金融工具组合原理与投机策略
第九章  套期保值原理与基于The Greek Letters的套期保值
金融工程的产生与发展
20世纪80年代中期,动态套期保值策略—组合保险创始人李兰德和鲁宾斯开始讨论“金融工程新学科”;
1988年,美国金融学教授芬纳蒂首次给金融工程以正式的定义;
1991年,国际金融工程师学会(IAFF)成立;
1992年, Marshall,J.F和Bansal,V.K合著的《金融工程》出版;
1993年,史密斯与史密森合著的《金融工程手册》出版;
1994年,格利茨的著作《金融工程学—管理金融风险的工具和技巧》出版。
金融工程与其他相关学科的关系
金融经济学(现代金融学)
数理金融学
金融分析与金融工程
金融分析是以找到问题为目标;
金融工程是以解决问题为目标。
金融工程的前景
代表金融学研究主流的一个重要方面。
成绩评定
(1)考试,占70%。
(2)平时成绩,包括出勤、提问、作业,占10%。
(3)新型金融工具分析报告,占20%。
①报告(10%)
②上台讲解(10%)
要求:
①分组,4人1组,自由组合;
②提交分析报告,每组收集12-15个国内金融市场上最新的金融工具,并进行分析,包括金融工具的上市时间、收益特性、风险特性、流动性、选择权等。同时要求进行比较。
金融工程技术解决问题程序与金融产品创新
本讲内容
(1)解决问题程序
(2)金融产品即构成要素
金融产品、金融商品、金融工具
⑶ 现金流复制技术与金融产品创新
正向复制、逆向复制
金融工程技术解决金融问题的程序
(1)诊断
识别客户遇到的金融问题的本质与根源。
(2) 分析
根据现有的金融工具、金融理论及金融监管现状,分析寻找解决问题的最佳方案。
(3) 开发
开发新的金融产品。
工艺方法:
组合、合成、新创、剥离(本金和利息)、分割(风险和收益)、分拆(现金流)
设计特征:
剥离与杂交;指数化与证券化;保证金机制;业务表外化。
(4) 定价
估值原理
无套利定价方法
(5) 交付使用
解决收购问题的案例
    ×年,新西兰钢铁联合企业由于管理不善,连年亏损,最终倒闭,留下了5亿多新西兰元的税务亏损。一个由F、C、T、B四家公司组成的投标财团投标收购该联合企业,并希望利用其税务亏损来节约投资成本。其中,F公司是当地最大的工业集团之一,具有雄厚的资金实力和拥有钢铁工业方面的生产管理经验和技术,也有强烈的收购意愿,希望控制该联合企业的生产和经营,这要求F公司执股比例必须超过50%。但是,当时F公司的负债比例较高,不希望新收购的联合企业再并入公司的资产负债表中(即执股比例不超过50%)。因此,为该收购项目安排的项目融资的关键在于能否设计出一种融资结构,以满足F公司的要求。
解决方案
具体方案
第一,根据合资协议,C公司认购控股公司的100股股票(一元一股),成为控股公司以至于钢铁联合企业法律上百分之百的拥有者,这样控股公司以及钢铁企业的资产负债和经营损益可以并入C公司的财务报表,同时,控股公司和钢铁企业的税收也可以与C公司的税收合并,统一纳税;
第二,四方投资者通过认购控股公司的可转换债券作为此项投资的实际股本资金来源;
第三,投资者根据合资协议组成董事会负责公司的重要决策,并任命F公司的下属公司担任项目经理负责公司的日常生产经营;
                定价问题            百万
思考问题
1990年新西兰政府决定将国有人工造植的辐射松林地在国际上公开招标出售。来自中国、美国、日本和澳洲的一些国际性公司对此很感兴趣,其中一个由几家公司组成的投标财团准备投标购买新西兰南岛的一片林地。该项目可行性研究报告表明,新西兰森林将具有良好的发展前景,市场潜力非常大;从项目经济可行性来看,在一个大周期内(一般为20-40年),项目的收益是相当可观的,表明项目具有足够的经济强度,而且新西兰的国家风险和政治风险较低。因此项目本身相当理想。但是,由于该林地的平均树龄比较年青,在未来的八年内不可能有大量的成品林出售,即存在项目短期内不可能产生可观的净现金流量的难题。最后为该项目安排的项目融资没有成功。
金融产品与金融商品
产品是能够给最终用户带来有形和无形好处的复合品。
产品有商品和服务两种形式
商品:具有有形的特点,可以持有和转让,并可能使生产和供货分离;
服务:在很大程度上是无形的,在交收过程中产生并在交收结束时停止存在,不能保存或通过中介机构分销。
提供服务需要有形的商品提供支撑或提供方便。
金融工程师使用的有形商品通常以金融工具的形式出现。
金融产品与交易策略
两者都是金融工程的内容。
产品是出售给客户的商品和服务;
策略是利用市场的有效性不足或者为完成企业特定目标的场内交易技术。
如果策略是用来直接出售的,如向客户提供包含策略的咨询服务,则策略也可以称之为金融产品。
金融商品的构成要素
金额、期限、利率、权利四要素。
按涉及的虚的或实的资金可分为资金类金融商品和衍生类金融商品。
广义的权利:金融商品就是资金权利组合凭证。
资金的使用权,可赎回权,转换权,利率形式选择权,利率支付方式选择权,利率执行行为选择权、本金大小变动权等。       
传统金融工具特征
现金流复制原理
设由证券 A 和 B构成的组合等于证券 C,即.
A+B=C                                   (4.1)
“=” 表示在其他条件不变的情况下,在未来的某一时点上与其现金流量相等。
(A+B):复合证券
C:直接证券
定义:
“ +”表示多头
“-” 表示空头
(1) 式(4.1)变为
     +A+B=+C            (4.2)
(2) (4.2)两边同时乘以 –1,则有
      -A-B=-C               (4.3)
(3)将 A 从(4.2)左边移到右边,则有
       +B=+C-A             (4.4)
(4)将 B 从(4.3)左边移到右边,则有
        -A=-C+B
创造新的金融工具
利率互换
+[利率互换]=+[浮动利率债券]-[固定利率债券]
Or
-[利率互换]=-[浮动利率债券]+[固定利率债券]
构建交易策略
(1)套利策略
设:+A+B=+C
如+A+B>+C,则(+A+B)为套利组合,其利润为?
如put-call parity, c + Xe -rT = p + S0
A:欧式看跌期权
B: 标的资产
C: 欧式看涨期权
(2)投机策略(三种策略)
包含一个期权和标的资产的组合策略
价差策略 (A spread)
复合策略 (A combination)
(3)套期保值策略
复合双重货币债券
零息票债券的创造
转换套利的一般模型
零息票债券的价值
债券的风险溢价
利率风险、违约风险、再投资风险、赎回和提前偿付风险、购买力风险。
投资基于国库券的零息票产品能够消除再投资风险,只存在购买力风险。
递延纳税效应
零息票债券的应用
(1)作为基础金融工具复制其他传统和非传统形式债务的现金流;
(2)将非常复杂的金融结构分解为基本成分,利用零息票收益曲线对基本成分的现金流进行估值。
金融工程与零息票债券
股票的分割(逆向复制)
一单位的股票分割为三种互相分离的有价证券:
带有固定息票的30年期债券,息票利率等于当前的股利率;
一份无初始股利的优先股,但它在30年内将支付与现有股票股利增长额相等的金额;
一份权益证明,它将在30年期末付给持有人相当于权益升值的金额:超过某一指定数额的金额。
图例
评价
优势:
分离独立的组成部分对投资者的吸引力比未分解的单一股票要大;
税收方面的不对称。
问题:
市场流动性问题
表决权(期权特征)
第一篇 金融工程理论与方法
第一章  估值原理与市场效率理论
第二章  资产组合理论与资本资产定价模型
第三章  套利、套利定价理论与无套利均衡分                       析法
现代金融理论的发展(1)
1896年,美国经济学家欧文•费雪(Irving Fisher)提出关于当前价值应等于其未来现金流量贴现值之和的思想。
1938年,费里得里克•麦考林(Frederrick Macaulay)提出“久期”(Duration)的思想。
1952年,哈里•马柯维茨(Hary Markowitz)发表著名的论文“证券组合选择”,奠定了现代金融学的基础。
现代金融理论的发展(2)
1958年,Modiglian F. 和M•H.Miller 在《美国经济评论》上发表了“资本成本、公司财务和投资理论”,即“MM定理”,成为现代金融理论体系的第一根支柱。
20世纪60年代早期,约翰逊(Johnson,1960)和斯坦因(Stein,1961)采用债券组合理论解释套期保值行为,提出了风险最小化套头比的回归方法。艾得灵顿(Ederington,1979)将该方法推广到金融期货套期保值,简称JSE法。
现代金融理论的发展(3)
Willarm Sharp(1964)、John Lintner(1965)和Jan Mossin(1966),提出了资本资产定价模型(CAPM),成为现代金融理论体系的第二根支柱。
1973年,罗伯特•默顿(Robert Merton)提出了基于连续时间的动态资本资产定价模型。
雷洛伊(Leroy,1973)、鲁宾斯坦(Rubinstein,1976)和卢卡斯(Lucas,1978)发展了离散时间跨期的CAPM。
1976年,斯蒂芬•罗斯(Stephen)提出了套利定价理论。
现代金融理论的发展(4)
1965年,芝加哥大学教授法玛(E.F.Fama)提出了效率市场的假说。
1973年,Fisher Black 和Myron Scholes在《政治经济学杂志》上发表的《期权定价与公司财务》,提出了期权的定价模型,成为现代金融理论体系的第三根支柱。
1979年,考克斯(Cox)、罗斯(Ross)、鲁宾斯坦(Rubinstein)提出了二项式定价模型。
1979年,哈里森和斯雷帕斯(Horrison and Kreps)构建了基于无套利的等鞅测度方法的基本框架。
第一章  估值原理与市场效率理论
一、估值原理
两个基本概念
连续复利利率及换算
零息票利率及换算
关于债券收益的几个参数
二、市场效率理论
两个基本概念
现金流
资金的时间价值
连续复利利率
设金额A以单利率R投资了n年,如一年复利一次,其终值为
A(1+R)n
如一年复利m次,其终值为
A(1+R/m)mn
如m→∞ ,有
  lim
 m→∞
连续复利利率的换算
设Rc是连续复利利率, Rm是与之等价的每年计m次复利的利率,有
enRc=(1+Rm/m)mn
则有
连续复利利率的收敛性
零息票利率
到期日为T的零息票利率是指在T时刻一次还本付息的投资所获得的利息率。

零息票利率的换算:例
迭代法
在3个月内可获得$2.5(100-97.5).
以年利率表示的3个月期利率为
(4×2.5)/97.5=10.256%
用年利率表示的3个月期的连续复利利率为
4㏑(1+0.10256/4)=10.13%
用同样的方法可求得6个月期和1年期的连续复利利率分别为10.47%和10.54%。
迭代法(续)
对于1.5年期的连续复利利率,有现金流量图
解得: R = 0.1068 or 10.68%
同样的方法可求得2年期的连续复利零息票利率为10.81%
连续复利零息票利率表
债券价格
2年期每六个月支付一次,年利率为6%的债券的理论价格为:
债券收益率
使债券现金流量现值等于债券市场价格的贴现率。
假设上例的市场价格等于其理论价格(98.39)。
平价收益率
一定时期的平价收益率是使债券价格等于其面值的息票率。
依前例,有
平价收益率(续)
设m为一年的付息次数,P 为现值系数, A为每次付息的年金现值之和。
平价收益率可由下式求得:
证券市场效率研究的二个关键问题
证券市场效率一般是指证券市场调节和分配资金的效率,即证券市场能否将资金分配到最能有效使用资金的企业。
法玛提出的二个关键问题:
(1)关于信息和证券价格之间的关系,即信息的变化如何引起证券价格的变化;
(2)与证券价格相关的信息的种类,即不同的信息对证券价格的影响程度。
信息和证券价格的关系:观点
(1)投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬;
(2)证券的所有信息将用于评估其价值,证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的;
(3)投资者都是理性的,都有相同的预期。因此其信息处理方法和分析意见的差异,不可能影响证券价格的系统性发展趋势,只能引起证券价格的随机波动。
与证券价格相关的信息及效率市场
不同信息对价格的影响程度不同,从而反映了证券市场效率程度因信息种类不同而异。
(1)历史信息
(2)公开信息
(3)内部信息
定义了三种效率市?。?br /> 弱式有效市场
半强式有效市场
强式有效市场
有效市场假设蕴涵着金融市场的特征
(1)市场的无记忆性
(2)市场价格的可信赖性
问题:技术分析是否有效?
市场有效性的争论
Fama于1970年发表了第一篇关于市场效率性的综述性文章,认为:没有找到任何可以利用的市场机会的证据。
(“Efficient Capital Markets:A Review of Theory and Empirical Work,Journal of Finance,25(2)(May 1970)”)
S.Grossman和J.Stiglitz在1980发表文章揭示有效市场假设在逻辑基础上的内在矛盾:一方面,市场的有效性是投机和套利的产物,而投机和套利是有成本的大活动;另一方面,因为市场是有效的,则不存在套利机会,投机活动也无利可图,套利和投机活动就会停止,市场也就不能保持有效。
(“One the Impossibility of Informationally Efficient Markets,American Economic Review(June 1980)”)
市场有效性的实证检验
一般认为,在美国,已达到弱式有效市场和半强式有效市场。
中国:
(1)俞乔(1994)认为深圳和上海市场均不具有弱型效率;
(市场有效、周期异动与股价波动,《经济研究》,1994年第4期)
(2)吴世农(1996)认为:似乎有一些证据可以支持中国股市达到了弱式有效的结论,但不能确定中国股市已达到了弱式有效市场。
(中国证券市场效率分析,《经济研究》,1996年第4期);
但他在1999年著文认为:倾向接受市场有效性假设。
(中国证券市场过度反应了吗?《经济研究》,1999年第2期)
宋逢明(1999)认为:自1992年股价放开后,弱式有效假设已经基本成立,因此,即使对中国股市来说,技术分析的科学性是值得怀疑的。这和中国证监会的统计是相吻合的。
技术分析是否真的科学?
价格序列分析的价值
Brown和Jennings(1989),Grundy和 Mcnichols(1989)建立了多期噪声理性预期均衡模型,揭示了单个价格不能揭示信息,而价格序列则可以做到。说明对价格的技术分析是有价值的,因为交易者可以从价格的变动过程中学习到私人信息,能增加交易者的学习能力。
(Brown,D.,and R.Jennings,One Technical Analysis,Review of Financial Studies 1989(2):527-552)
交易量分析的价值
资产交易量也可能传递资产真实价值相关的信息,从而影响价格的调整 过程。
(Blume,L.,Easley,and M. O’Hara,Market Statistics and Technical Analysis:The Role of Volume,Journal of Finance 1994(49):153-182.)
其他证券市场效率理论 West and Tinic的观点:外在效率
定义:
指证券市场上资金的分配效率,即市场上证券的价格能否根据有关信息作出及时、快速的反映。(反映价格对信息的敏感程度)。
衡量的标志:
(1)价格是否自由地根据有关信息而变动;
(2)证券的有关信息能否充分地披露和均匀地分布,使每个投资者在同一时期内得到等质的信息。
West and Tinic的观点:内在效率
定义:
证券市场交易的营运效率,即证券市场能否在最短的时间和以最低的交易费用为交易者完成一笔交易。
衡量的标志:
(1)每笔交易所需的时间
(2)每笔交易所需的费用
本章内容
Markowitz的证券组合理论
风险度量方法
证券组合对风险的分散效应
最优投资组合
资本资产定价模型
Markowitz有效证券前沿的拓展
资本市场线
证券市场线
方差风险度量法:单证券的收益与风险度量
收益率
R=[Dt+(Pt-Pt-1)]/Pt
收益率的期望值
E(R)=∑RiPi                          i=1,2,…,n
Ri:第i种可能的收益率;Pi : 收益率Ri发生的概率(∑Pi =1)
收益率的方差
σ2 =∑[Ri-E(R)]2Pi         i=1,2,…,n
变差系数
CV=σ/E(R)
方差风险度量法:证券组合的收益与风险度量
收益率的期望值
E(Rp)=∑XiE(Ri)        i=1,2,…,n
Xi:投资于证券i的比重;
E(Ri) :i证券的预期收益率
收益率的方差
σ2=∑∑XiXjcov(i,j)    i,j=1,2,…,n
Cov(X,Y)的定义
设(X,Y)为二维随机变量,量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为X,Y的协方差。即
Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
量cov(X,Y)/[√D(X) √D(Y)]称为随机变量X,Y的相关系数,记作ρx,y
即ρx,y=cov(x,y)/σXσY
方差—协方差矩
资产组合对风险的分散效应
设n种风险资产在资产组合中的比例是一样的,即有Xi=1/n,(i=1,2, …,n),则组合的方差为:
σ2=∑∑(1/n)(1/n)cov(i,j)
     =1/n2∑σii + 1/n2∑∑cov(i,j) 
       i,j=1,2,…,n且i≠j
(1)当n变得很大时,上式右端第一项趋于0;
(2)定义协方差的平均值为
结论
(1)当投资组合含有多种风险资产时,个别资产的方差将不起作用;
(2)起作用的是资产之间的协方差,而各资产间的协方差有正有负,则它们会起相互抵消的作用,故资产组合有分散风险的效应;
(3)因为平均的协方差不等于零,故各资产之间的协方差不能完全抵消。
为什么            不等于零
因为各项资产的收益变动存在某种“同向性”,这种“同向性”的风险是所有不同资产都同时承受的,称之为系统风险。
可以对冲抵消的风险称为非系统性风险。
系统风险的度量
单证券的系统风险
βiM=cov(i,M)/σM2
Cov(i,M):证券i与市场组合的协方差;
σM2 :市场组合的方差
证券组合的系统风险
βPM=∑XiβiM  i=1,2,…,n
结论:
βiM(or βPM)=1,表明其系统风险等于市场组合的系统风险;
βiM(or βPM)<1,表明其系统风险小于市场组合的系统风险;
βiM(or βPM)>1,表明其系统风险大于市场组合的系统风险.
Markowitz最小方差模型
方差—风险度量法存在的问题
(1)正态分布的假定
(2)不能很好地反应“真实的风险感受”
风险度量方法的改进: LPM(Lower Partial Moment)
风险度量方法的改进:VaR法
VaR=E(w)- W*         或VaR=W0-W*
为一定置信水平c下证券或证券组合的最低价值水平,由下式决定
Markowitz对投资者偏好的假设
不满足性
Ep是好的:其他条件不变,更多优于更少。
厌恶风险
σp是不好的:其他条件不变,更少优于更多。
投资者的等效用曲线
投资者效用函数
U=U(E[RP],σP)
如收益率服从正态分布,有
令U =U0 ,即U(μ,σ2) =U0为等效用曲线。
有效证券前沿(有效集)
最小方差组合(minimum variance portfolio)
最小方差前沿(minimum variance frontier)
有效证券组合(efficient portfolios)
有效证券前沿
最优投资组合
加入无风险资产的有效证券前沿
数学推导见“王一鸣.数理金融经济学.北京大学出版社,2000年6月:79-85页”
CAPM模型的基本假定
(1)所有投资者都属于Markowitz分散者;
(2)所有投资者对证券概率的分布一致;
(3)所有投资者具有同一单期投资日期;
(4)资产无限可分;
(5允许无限制地卖空;
(6)投资者可以按相同的无风险利率借入或贷出资金;
(7)买卖证券时没有税收和交易费用;
(8)没有通货膨胀和利率的变化;
(9)单个投资者不能通过其买卖行为影响资产价格。
两基金分离定理
在所有有风险资产组合的有效组合边界上,任何两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合,而有效组合边界上任意其他的点所代表的有效投资组合都可以由这两个分离的点所代表的有效投资组合的线性组合而成。
有效证券前沿可以由任意两个不同的有效前沿证券线性组合而成。
两基金分离定理的证明见“王一鸣.数理金融经济学.北京大学出版社,2000年6月:69-70页”
或“宋逢明.金融工程原理:无套利均衡分析.清华大学出版社,2000年9月:48-49。”
两基金分离定理(续)
当加入无风险资产时,两基金分离定理同样成立。
切点证券的构成
定理:切点所代表的资产组合是有风险资产的市场组合。
市场组合:由所有资产构成的组合,在这个组合中,各类资产所占的比重和其总市值占市场所有资产的总市值的比例相同。
分析
(1)任何市场上存在的资产必须包含在M点所代表的资产组合里;
(2)当市场均衡时,对任何一种资产都不会有过度的需求和过度的供给。
资本市场线
资本市场线(续)
公式
E(rp)=rf+[E(rM)-rf]σp/σM
σp=ωM σM
资本市场线的含义:
(1)资本市场也能达到均衡;
(2) 当资本市场达到均衡时,任何不利用市场组合以及不进行无风险借贷的其它所有组合都是无效组合;
(3)当资本市场达到均衡时,风险与收益成正方向变动,但只有系统性风险才能获得风险补偿。
资本市场线对金融工程的意义
不管投资者的收益/风险偏好如何,只需找到切点M所代表的风险投资组合,再加上无风险证券,就能为所有的投资者提供最佳的投资方案。
投资者的收益/风险偏好,只需反映在组合中无风险证券所占的比重。
单个证券与风险资产市场组合
曲线iM在点M的斜率为
资本市场线的斜率为
M点作为一个切点,上述两个斜率在该点是相等的,故:
证券市场线(Security Market Line)
表达式一:
表达式二:
证券市场线(续)
在证券市场线上的投资组合是就风险和报酬而言的一种均衡状态;
在均衡状态,只有系统性风险才能得到补偿。
当一资产的β系数大于1时,该项资产的风险补偿大于市场组合的风险补偿;
当一资产的β系数小于1时,该项资产的风险补偿小于市场组合的风险补偿;
当一资产的β系数等于1时,该项资产的风险补偿等于市场组合的风险补偿。
对于资本市场线来说,只有有效组合才落在其上面;对于证券市场线来说,无论是有效组合还是非有效组合,都落在其上。
证券市场线对金融工程的意义
(1) rf位置变动的涵义
证券市场线平移
证券市场线绕点rf旋转
(2)证券市场线的斜率为零说明投资者对风险无所谓,不对风险资产要求风险补偿。这就是风险中性的情况
(3)证券市场线将证券分为防卫性证券(defensive securities)和攻击性证券(aggressive securities)。
对CAPM扩展的看法
一个模型越现实,它的含义越普遍,但是它解释的越多,它的价值就越少。
…,解释了每一件事就等于没有解释任何事。
——William E Sharpe
国内的CAPM检验
陈浪南、屈文洲(2000)对上海证券市场进行了CAPM实证研究,认为其符合Black(1972)的zero-beta CAPM,并证实: zero-beta CAPM比标准的CAPM能更好地描述资产收益。
“陈浪南、屈文洲.资本资产定价模型的实证研究.经济研究,2000年第4期:26-34页”
关于CAPM的检验
资本市场理论涉及人们对机会的洞察力。实际结果可能(并且经常将)偏离预测。资本市场里的价值是事前的估计,被观察的价值是事后的结果。…,如果未来能够以确定性被预测到,投资者将避免多样化—最佳组合将只包含一种(实际)表现最好的证券。
但是不能以确定性预期未来,事前估计必须进行。确定性的缺乏为组合理论和资本市场理论提供了动因。
几乎所有的观察性研究,处理的都是投资的预期和他们对风险及其相关性预测的事后结果,这样的处理方式通常导致严重的误差。
——William E Sharpe
思考题
一为学生认为“一种具有正的标准差的证券必然有大于无风险利率的期望收益率,否则,为什么会有人持有它呢?”他的陈述正确吗?为什么?
第三章   套利、套利定价理论与无套利均衡分析
套利的定义(续)
指利用一个或多个市场存在的各种价格差异,在不冒风险或冒较小风险情况下赚取较高收益率的交易活动。
理解:
理论上的套利(或纯粹套利、狭义套利):没有投资也没有风险的交易活动。
实际的套利(或风险套利、广义套利):通过利用两个或更多市场的价格差异,以很少的投资赚取低风险收益的交易活动。
出现套利的情形
两个投资组合未来任何状态下,现金流完全一样,但当前价格不相等;
当前价格相等,但两种组合中有一种组合未来每一个时点的状态依存现金流都大于或等于第二种组合(至少有一个时点的状态移存现金流严格大于第二种组合)。
一价定律原理
设i市场的价格为Pi ,j市场的价格为Pj ,一价定律定义为
Pi=Pj+Zi, j
-(Ti, j+Ri, j) ≦Zi,j≦ (Ti, j+Ri, j)
(意指Zi为在运输费用和交易费用确定的区内变动的随机数)
涵义:
i市场的价格可高至Pj +(Ti, j+Ri, j)或低至Pj -(Ti, j+Ri, j)而不产生套利的机会。
空间套利中的一价定律
Pi=Pj×Ei,,j+Zi,,j
-(Ti, j+Ri, j) ≦Zi,j≦ (Ti, j+Ri, j)
Ei,,j为货币i兑j的即期汇率
涵义:
以货币i表示的市场中商品价格必须等于以货币j表示的市场中的价格乘以货币i兑j的即期汇率。
空间和时间综合套利中的一价定律
Pi(T)=Pj(t)×Ei,j+G(t,T)+Zi
其中,-Wi,j≦Zi≦Wi,j
含义:
资产在i市场的远期价格(用i货币标价)等于其在j市场的即期价格(用j货币标价)乘上货币i兑j的即期汇率,加上从现在到将来交割的持有成本(记为G(t,T)),在加上一个随机项(记为Zi ), Zi必须落在下图所示的范围内,Wi,j表示运输、交易、转换成本的总合。
指数模型(Index Model):单因素模型
对于任意证券i,其在t时期的单因素模型为:
rit=ai+biFt+εit
证券i的预期收益率
Ei=ai+biEF
收益率方差
σi2=bi2σF2+σεi2
指数模型(Index Model):多因素模型
对于任意证券i,其在t时期的多因素模型为:
rit=ai+bi1F1t+ bi2F2t+…+ biKFKt+εit
预期收益率
Ei=ai+bi1E1F+ bi2E2F…+biKEKF
套利组合必须满足的条件
(1)要求投资者不追加资金
设Xi表示投资者持有证券i的金额比例的变化,有
X1+X2+…+Xn=0
(2)套利组合没有因素风险,即对任何因素的敏感度为零
单因素模型下
b1X1+b2X2+…+bnXn=0
(3)套利组合的预期收益率应大于零
X1E1+X2 E2+…+Xn En>0
套利组合的最优模型(单因素模型)
MaxZ=Ep=X1E1+X2 E2+…+Xn En
S.t.    X1+X2+…+Xn=0
              b1X1+b2X2+…+bnXn=0
解:建立拉格朗日函数
MaxL= (X1E1+X2 E2+…+Xn En)-λ0(X1+X2+…+Xn)-λ1(b1X1+b2X2+…+bnXn)
 L有最大值的一阶条件为
L/Xi=0
L/λ0=0
L/λ1=0
单因素模型APT定价公式
在均衡状态下,E1和bi之间的关系为
Ei=λ0+λ1bi
λ0、λ1为常数
λ0、λ1的涵义
λ0的涵义
设证券i为无风险资产,有
Ei=rf , bi=0
则有 Ei=λ0+λ1bi=λ0= rf
   故     Ei=rf +λ1bi
λ1的涵义
设一个纯因素组合为P ,且bp=1
Ep=rf +λ1bi =rf +λ1
λ1= Ep-rf
λ1为因素风险报酬
令1=Ep ,有
Ei=rf+(1-rf)bi
无套利均衡分析法:例
设有A、B两家公司,其资产性质完全相同,有关数据如下表。
为什么B公司的价值也为1亿元?
设B公司的价值低于1亿元,则其股票的价格低于100元/股,设为90元/股,则可以构建套利组合:
卖空1%A公司的股票,同时分别买入1%B公司的股票和债券。
其现金流如下:
为什么B公司的价值也为1亿元?(续)
设B公司的价值高于1亿元,则其股票的价格高于100元/股,设为110元/股,则可以构建组合:
卖空1%A公司的股票,同时分别买入1%B公司的股票和债券。
其现金流如下:
思考题
    某投资者拥有一个由三种股票构成的投资组合,符合单因素模型,其有关信息如下:
                   第一种股票             第二种股票             第三种股票
    市值           500万元                  500万元                    500万元
     Ei                 16%                         20%                          13%    bi                   0.9                            3.1                           1.9
问:该能否修改其投资组合,使其在不增加风险的情况下提高预期收益率?
第四章  静态无套利均衡定价
本章内容
(1)静态复制技术
(2)远期/期货定价
(3) 互换定价
状态价格定价技术
假如一份风险证券A,现在的市场价格是PA ,1年后市场价格会出现两种可能的情况:价格上升到uPA ,其概率为q;或者下降到dPA ,出现的概率为1-q。即1年后会出现两种不同的价格状态。
状态价格定价技术(续)
定义两基本证券(假想证券):
基本证券1:在1年后如果市场出现上升状态,其市场价值为1元,如处于下跌状态,则其价值为零,其市场价格记为πu ;
基本证券2:在1年后如果市场出现上升状态,其市场价值为0元,如处于下跌状态,则其价值为1,其市场价格记为πd 。
用基本证券复制风险证券A
组合E:
购买uPA份基本证券1;
购买dPA份基本证券2。
由无套利原理可知,复制与被复制证券市价的现值相等:
PA=πuuPA+πddPA
即:πuu+πdd=1         (1)
对风险证券A定价
组合C:
购买一单位基本证券1;
购买一单位基本证券2。
1年后组合C现金流为?
组合C是一个无风险组合,其收益率应为无风险收益率rf ,有
πu+πd=1/(1+ rf)       (2)
将式(1)、(2)两个方程联立成方程组,可得:
  πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)]
  πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]
例1
假如证券A现在的市场价格为PA=100元,rf=2%,d=0.98,u=1.07,见图;证券B1年后的状态价格见图。

依题意有
πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)]=0.435730
  πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]=0.544662
对A证券定价
PA=πuuPA+πddPA=0.435730×107+0.544662×98=100
对证券B定价
PB=πuuPB+πddPB=0.435730×103+0.544662×98.5=98.52941
问题
问题1:基本证券1的市场价格和基本证券2的市场价格是由证券A的状态价格确定,为什么可以用来复制证券B?
状态价格的涵义:
两个基本证券的参数[πu,πd]唯一地确定了某个市场,则刻画在这个市场里的证券价格变化的参数u和d必须满足以下方程组
πuu+πdd=1
πu+πd=1/(1+ rf)
两组不同的[πu,πd]刻画了两个不同的市场。
     用证券B的状态价格来复制证券B?
     问题2:基本证券都是假想证券,能不能用一个证券来复制另一个证券?
用证券A复制证券B
组合D:△份证券A和现值为L的无风险证券。其现在的价格为:
I=100△+L          (3)
1年后,无论市场状况如何,组合D的市场价值都与证券B一样。
如出现上升的状态,有
Iu=△×107+L×1.02=103
如出现下降的状态,有
Id=△×98+L×1.02=98.5
将以上两个方程联立成方程组,可解得△=0.5,L=49.5/1.02
代入式(3)可得证券B现在的价值I=98.52941
远期/期货合约的价值
设X为远期/期货合约在到期日T标的资产的交割价格。则对于一项远期合约多头来说,其在T时刻的价值为S(T)-X。
组合:
一项价值为S(t)的标的资产多头;
数量为Xe-rf (T-t)的现金空头(以无风险利率rf借入)
组合现金流分析
t时刻:组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t)
T时刻:组合价值为S(T)-X
这一组合复制了远期合约的多头。
根据无套利原则,该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t时刻的价值。即
ƒ(t)=S(t) - Xe-rf (T-t)              t≤T
远期/期货价格
如果在t时刻订约,则远期价格等于T时刻的交割价格,即F(t,T)=X,且合约的价值为零,则有
S(t) - Xe-rf (T-t) =0
即,X= S(t)erf (T-t)
故远期/期货价格为
F(t,T)= S(t)erf (T-t)
支付已知现金红利资产远期合约定价
设I为现金红利在t时刻的现值。
组合
一项价值为S(t)的标的资产多头;
数量为Xe-rf (T-t) +I的现金空头(以无风险利率rf借入)
组合现金流分析
t时刻:组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) - I
T时刻:组合价值为S(T)-X
这一组合复制了支付已知现金红利资产远期合约的多头。
根据无套利原则,该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t时刻的价值。即
ƒ(t)=S(t) - I - Xe-rf (T-t)              t≤T
关于远期汇率的案例
一客户要求某银行报出一年后交割的DM对US$的汇价。有关数据如下:
交割数量(A):1,980,000DM
即期汇率(S): US$1=1.8000DM
即期利率:一年期的美元利率(ib )为6%,一年期的DM利率为(iq )10%。
问:该银行如何确定一年期的DM/ US$的远期汇率(F) ?
远期汇率的确定过程
远期汇率
考虑连续复利利率,有
①步:Ae-iq
②步:Ae-iq/S
③步: [Ae-iq/S]eib
  ④ 步:F=Se(iq-ib)
远期汇率的一般形式:
      F=Se(iq-ib)(T-t)
远期汇差(或换汇汇率)的一般形式为
W=F-S=S(e(iq-ib)(T-t) -1)
关于远期利率的案例
一客户要求某银行从现在(t)开始6个月内提供为期6个月的£100万的贷款。在现货市场上,利率的报价为:6个月期(T)的利率(is)为9.5%,12个月期(T)的利率(iL )为9.875%。
该银行如何确定该6×6的远期利率(iF )?
远期利率的确定过程
远期利率
①步:1,000,000/(1+0.5×9.5%)
=954,654
②步: 954,654×(1+9.875%)
       =1,048,926
③步:1,000,000(1+0.5×iF)=1,048,926
解得,iF=9.785%
A(1+ (T-t) iL)
 
 A(1+(T-t)is)(1+(T-T) iF)= A(1+ (T-t) iL)
远期利率(连续复利)
如考虑连续复利,则上面第三步变为:
eis(T-t)×eiF(T-T)=eiL(T-t)

 is(T-t)+ iF(T-T)= iL(T-t)
解得,
利率互换的种类
负债相关性互换
固定利率对浮动利率
浮动利率对固定利率
资产相关性互换
固定利率对浮动利率
浮动利率对固定利率
关于互换定价
假设一个从1998年3月1日开始的三年期利率互换,协议规定公司B向公司A支付年利率为5%的固定利率,公司A向B支付六个月期的LIBOR,其名义本金为100万美元,每六个月交换现金流。
B公司的现金流
利率互换定价(1):债券组合复制利率互换
    支付固定利率、收入浮动利率互换方的现金流可以用以下债券组合复制。
该互换方向对方发行固定利率债券;
该互换方购入对方发行的浮动利率债券。
 支付浮动利率、收入固定利率互换方的现金流可以用以下债券组合复制。
该互换方向对方发行浮动利率债券;
该互换方购入对方发行的固定利率债券。
利率互换定价(1):用债券组合定价
Define
Bfix:Value of fixed–rate bond underlying the swap.
Bfl:Value of floating–rate bond underlying the swap.
When paying fixed and receiving floating
Vswap= Bfl - Bfix
When paying floating and receiving fixed
Vswap= Bfixl - Bfl
利率互换定价(1):用债券组合定价(续)
定义
ti:距第I次现金流交换的时间(1≤i≤n).
L:利率互换合约中的名义本金额.
ri:到期日为ti的LIBOR零息票利率
k:支付日支付的固定利息额
Bfix=ke-ri×ti+Le-rn×tn      (1<=i<=n)
设利息下一支付日应支付的浮动利息额为k* ,则在下一次利息支付前的一刻,浮动利率债券的价值为
Bfl=L+k*
故今天的浮动利率债券的价值为:
Bfl=(L+k* ) e-r1t1
利率互换定价(1):例
Suppose a financial institution has agreed to pay six-month LIBOR and receive 8% per annum on a notional principal 0f $100 million. The swap has remaining life of 1.25years. LIBOR rates with continuous compounding for 3-month,9-th months,and 15-months maturity are 10%,10.5%,and 11%,respectively.The 6-months LIBOR rate at last payment date was 10.2%.What is the value of the swap?
利率互换定价(1):解
这里,k=$4 million and k* = $5.1,故
Bfix=4e-0.1×0.25 +4e-0.105×0.75
         +104 e-0.11×1.25 =$98.24 million
Bfl=(100+5.1) e-0.1×0.25 =$102.51 million
Vswap=98.24-102.51=-$4.27 million
利率互换定价(2)
利用远期利率来计算该互换合约的价值
固定利率8%所对应的现金流为100×0.08×0.5=400万美元
  浮动利率10.2%(在3个月以前假定)所对应的现金流为100×0.102×0.5=510万美元
  3个月与9个月之间的远期利率为(连续复利利率)
换算为对应于每半年复利一次的远期利率为11.044%。因此在第9个月支付的现金流为552.2万美元。
   同理,可计算在15个月时支付的现金流为605.1万美元。将三个时点上的现金流按对应的折现率折现,并求和,得出该互换合约的价值.
                                                                              单位:百万
货币互换定价(1):用不同币种债券组合复制
支付外币利率、收入本币利率互换方的现金流可以用以下债券组合复制。
拥有一份外币债券空头头寸;
拥有一份本币债券多头头寸。
 支付本币利率、收入外币利率互换方的现金流可以用以下债券组合复制。
拥有一份本币债券空头头寸;
拥有一份外币债券多头头寸。
货币互换定价(1):用债券组合定价
收入本币支付外币互换方的价值为
Vswap= BD – S0 BF
收入外币支付本币互换方的价值为
Vswap= S0 BF – BD
这里, BF 是用外币表示的基于货币互换的外币债券的价值; BD 是基于互换的本币债券的价值; S0 即期汇率(直接标价法)。
货币互换定价(1):例
   Suppose that the term structure of LIBOR interest rates is flat in both Japan and the United States. The Japanese rate is 4% per annum and the U.S. rate is 9% per annum . A financial institution has entered into a currency swap where it receives 5% per annum in yen and pays 8% per annum in dollars once a year. The principals in the two currencies are $10 million and 1,200 million yen. The swap will last for another three years and the current exchange rate is110 yen = $1
货币互换定价(1):解
设美元为本币,则有
BD=0.8e-0.09*1 +0.8e-0.09*2 +10.8 e-0.09*3 =$9.644 million
Bf=60e-0.04*1 +60e-0.04*2+1,260 e-0.04*3 =1,230.55 million yen
The value of the swap is
1,230.55/110-9.644=$1.543million
利率互换定价对什么定价
利率互换定价的实质是对利率互换中固定利率(也称互换利率)的确定。
如何确定固定利率
例:一家公司要做价值2500万美元的固定利率对浮动利率的5年期利率互换。交易商同意为这2500万美元支付年利率为X的固定利率换取客户支付的6月期LIBOR利率。如何确定X?

长期限利率互换通常采用具有同等平均寿命的国库券利率差来定价;
短期限的利率互换则采用和远期利率定价相类似的方法。
第五章    动态无套利均衡分析(1) ——二叉树(Binomial Trees)定价法
本章内容:
(1) 动态复制技术
(2) 二叉树定价原理及模型
(3) 二叉树定价法的扩展
动态复制技术:例
有证券A、B,证券A的价格运动规律如左图,证券B在第二期期末3种不同状态下的价格如右图。

先看右上方的二叉树,假设用△u份证券A和现在市场价值为Lu的无风险证券来构筑证券B的组合。见图。
解(续)
对于右下方的二叉树,可建立方程组
 104.86△d +1.02Ld =102.97
  96.04△d +1.02Ld =98.48
解得, △d=0.509, Ld=48.62, PBd=98△d +Ld=98.5
再看左方的二叉树,如图。
解(续)
可用△份证券A和价值为L的无风险证券的组合来复制证券B??傻梅匠套?br />  107△+1.02L=103
  98△+1.02L=98.5
解得,△=0.5,L=48.53
故证券B现在的市场价格为
PB=100△ +L=98.52941
一个简单的二叉树模型
一个股票现在的价格为 $20
三个月后,该股票的价格或者是 $22 ,或者是$18,如下图
设无风险利率为12%。
A Call Option
 A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.
对看涨期权进行复制
考虑一个组合: Δ单位股票
                  现值为L的无风险资产
则有方程组
22Δ+Le0.12×0.25=1
18Δ+Le0.12×0.25=0
解得:Δ=0.5,L=-4.3672
 则期权的价格为20Δ+L=20×0.5-4.3672=0.633
构建一个无风险组合
考虑一个组合: long  D shares      short  1 call option
当22D – 1=18D or D=0.25时,该组合是无风险的。
对组合定价
无风险组合为:
   long  0.25 shares     short  1 call option
该组合3个月后的价值为
    22 ×0.25 – 1 = 4.50
组合的现值为
    4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
对期权定价
组合:
  long  0.25 shares    short  1 option   
   现在的价值为 4.367
而股票的价值为      5.000 (= 0.25×20 )
故期权的价值为0.633 (= 5.000 – 4.367 )
一步二叉树定价的一般形式
A derivative lasts for time T and is dependent on a stock
期权的定价公式
         ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd  ]e–rT 
这里,
U与d值的确定
一张完整的二叉树图
美式期权的二叉树定价
     沿二叉树从最后节点到最开始的节点,检查在每个节点提前行使是否合理。在每个节点期权的价格为以下二者中的最大值:
(1)按ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd  ]e–rT,其中 
          得出的ƒ值;
(2)提前行使的现金流。
例:一美式看跌期权的二叉树定价
设标的资产为不付红利的股票,其当前市场价格为50元,波动率为每年40%,无风险连续复利年利率为10%,该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元,求该期权的价值。
解:这里,S0  = 50;   X  = 50;   r  =10%;   s = 40%; 
  T  = 5 months = 0.4167; 
  Dt  = 1 month = 0.0833
则有:
  u  = 1.1224;   d  = 0.8909;  p  = 0.5076
不付红利股票美式看跌期权二叉树
支付已知红利率资产价格的二叉树图
支付已知红利率资产的期权定价
假设将期权有效期划分为N个长度为的小区间,S0ujdi-j表示时刻iDt时第j个结点处的证券价格(即结点(i,j)的证券价格)。又设标的资产在未来某一确定时间支付已知红利率δ。
如果时刻iDt在除权日之前,则结点处证券价格仍为:
S0ujdi-j ,j=1,2,…,i
如果时刻iDt在除权日之后,则结点处证券价格相应调整为:
S0(1-δ)ujdi-j,j=1,2,…,I
若δi为0时刻到iDt时刻之间所有除权日的总红利支付率,则iDt时刻结点相应证券价格为:
S0(1-δi)ujdi-j
支付已知红利额资产价格的二叉树图
支付已知红利额资产的期权定价
将证券价格分为两部分:
一部分是不确定的;
另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。
设在期权有效期内只有一次红利D,除息日τ在kDt到(k+1)Dt之间,则在iDt时刻不确定部分的价值S*为:
支付已知红利额资产的期权定价(续)
设σ*为S* 的标准差(设为常数),根据σ*就可以算出相应的参数p、u和d。这样,可以构造出关于S*的二叉树,再通过上式将关于S*的二叉树转化为关于S的二差树。
设零时刻S*的值为S*0 ,则在iDt时刻,有:
当iDt≤τ时,该树上每个结点对应的证券价格为
S*0ujdi-j+De-r(τ- iDt)        j=0,1,2,…,i
当iDtτ时,该树上每个结点对应的证券价格为
S*0ujdi-j                               j=0,1,2,…,i

一个以股票为标的资产的5个月的看跌期权,在其有效期内将支付一次红利,金额为$2.06,支付时间为3.5月。股票的初始价格为$52,敲定价格为$50,无风险利率的年利率为10%,变动率为每年40%。求该看跌期权的价值。
解:
先构造关于S*的二叉树,由于在零时刻,红利的现值为:
2.06e-0.2917×0.1=2.00
故S*的初始值为S*0= $52-2.00= $50
又设的年变动率为40%,则关于的二叉树图如
关于S的二叉树图
第六章    动态无套利均衡分析(2)  ——Black-Scholes期权定价模型
(1) 证券价格的变化过程
(2) Black-Scholes微分方程及定价公式
(3) Black-Scholes模型的应用
证券价格变化与Markov Stochastic Process
弱式有效市场中的证券价格变化
随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。
随机过程的分类:
Discrete time;  discrete variable
Discrete time;  continuous variable
Continuous time;  discrete variable
Continuous time;  continuous variable
严格地说,证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程,但我们近似地将其看为连续变量的连续时间随机过程。
Markov Stochastic Process
在这个过程中,只有变量的当前值才与未来的预测有关,变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
Cramer-Levy(克拉默-列维)定理
              设X1 、X2为独立随机变量,则X1+X2~(μ, σ 2),当且仅当X1 ~( μ1, σ1 2 ), X2 ~( μ2, σ2 2 ),且μ=μ1+μ2, σ 2=σ1 2 +σ2 2
维纳过程(A Wiener Process )
维纳过程是一个拥有零均值和年变动率为1.0的Markov Stochastic Process。
设在微小的时间段Δt内变量z的变化值为Δz。则一个维纳过程具有二种特征: 
(1)     
由(1)可知,在一个微小的时间间隔Δt内 , Δz~N(m,s),且
Mean of Δz=0
Standard deviation of Δz=√Δt
Variance of Δz=Δt
(2)对于任意两个不同时间间隔Δt,Δz的值相互独立。
维纳过程(续)
在一个相当长的时间段T内,[z(T )–z(0)]~N(m,s),且
Mean of[z(T)–z(0)]=0
Variance of[z(T)–z(0)]=NDt=T
N=T/n
Standard deviation of [z(T )–z(0)]is
推论
①在任意长度的时间间隔T内,遵循维纳过程的变量的变化值服从具有均值为0,标准差为     的正态分布。
②对于相互独立的正态分布,方差具有可加性,标准差不具有可加性。
一般维纳过程(Generalized Wiener Process)
定义
漂移率(Drift Rate)是指单位时间内变量z均值的变化值(设为a)。
方差率(Variance Rate)是指单位时间的方差(设为b2 )。
变量x的一般维纳过程可表示为:
dx=adt+bdz   
                式中,dz为维纳过程
在很小的一段时间间隔Δt内,Δx值的变化遵循
Δx=aΔt+bε√Dt
式中,ε~N(0,1)
一般维纳过程(续)
     推论1:Δx~N(m,s)
              Δx的均值=aDt
             Δx的标准差=b√Dt
             Δx的方差=b2Dt
推论2:在任意时间间隔T内,x值的变化量遵循正态分布,且
x的均值=aT
x的标准差=
x的方差=b2T
伊藤过程(Ito Process )
若把变量x的漂依率和方差率当作变量x和时间t的函数,可得到伊藤过程。
  dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz 
式中,dz是一个维纳过程,a、b分别是变量x和t的函数,变量x的漂移率和方差率分别为a和b2。
考虑到离散时间,伊藤过程变为
说明:上式只有当Dt→0时,才成立。
证券价格行为模型
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为σ2S2的伊藤过程表示。

dS/S=μdt+σdz
式中,μ表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率(又称预期收益率),σ2表示证券收益率单位时间的方差;σ表示证券收益率单位时间的标准差,简称证券价格的波动率。
证券价格行为模型(续)
在短时间Dt后,证券价格变化的比率值为:
DS/S=μDt+σε√Dt
故,有
DS/S~N(μDt,σ√Dt)
注意:由于比例变化不具有可加性,因此不能推导出在任意时间长度T后证券价格比例变化的标准差为σ√Dt。
伊藤引理(Ito’s lemma)
     若变量x遵循伊藤过程,伊藤引理将会告诉我们变量x和t的函数G将遵循的随机过程。
因为一个衍生证券是标的资产S和时间t的函数,因此,伊藤引理在衍生证券的分析中占有重要的地位。
伊藤引理推导:泰勒级数展开式
函数G(x,t)的泰勒级数展开式为:
伊藤引理推导: 忽略Dt的高阶项
伊藤引理推导: Substituting for Dx
伊藤引理推导: The e2Dt Term
伊藤引理推导: Taking Limits
股票价格变化过程与衍生证券价格变化过程
证券价格自然对数变化过程
证券价格自然对数变化过程(续)
Black-Scholes 的基本原理
期权的价格和股票的价格都受同一个基本的不确定性来源的影响。
我们能够构筑一个包含股票和期权的组合,以此来消除这种不确定性来源。
此组合是瞬间的无风险并能获得瞬间的无风险收益。
这将导出 Black-Scholes differential equation
Black-Scholes微分方程(1/3)
Black-Scholes微分方程(2/3)
Black-Scholes微分方程(3/3)
We substitute for      and       in these equations to get the Black-Scholes differential equation:
Black-Scholes微分方程的解
有收益资产美式看涨期权的定价
首先确定在tn(分红时刻)提前执行美式看涨期权是否合理。
若不合理,则按欧式看涨期权处理;
若合理,则取以下两个期权价格的最大值作为美式期权价格的近似值:
(1) tn时刻到期的欧式看涨期权,标的股票不分红;
(2)T 时刻到期的欧式看涨期权,标的股票在tn时刻分红。
在Black-Scholes 模型条件下,美式看跌期权没有解析解存在。
提前执行无收益资产美式看涨期权的合理性
考虑两个组合:
组合A:一份美式看涨期权加上金额为Xe-r(T-t)的现金
组合B:一单位标的资产
分析两个组合的现金流:
到期执行的现金流
组合A的价值为max(ST,X);
组合B的价值为ST 。
如果不提前执行,组合A的价值一定大于等于组合B。
提前执行的现金流
设在τ时刻提前执行,则两组合的现金流为:
组合A的价值(τ时刻)为Sτ-X+Xe-rF(T-τ)
组合B的价值(τ时刻)为Sτ
因T>τ,rF>0,故Xe-rF(T-τ)<X。即若提前执行美式看涨期权,组合A的价值将小于组合B。
结论:提前执行无收益美式看涨期权是不明智的。
提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性
     设在期权到期前,标的资产有n个除权日,t1, t2, … , tn为除权前的瞬时时间,在这些时刻之后的收益分别为D1, D2 , …, Dn ,在这些时刻的标的资产价格分别为S1, S2, …, Sn 。
      命题:在有收益情况下,只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权才有可能是最优的。
      所以,只需推导在每个除权日前执行的可能性。
提前执行有收益资产美式看涨期权合理性(续)
      分析在最后一个除权日(tn)提前执行的条件。
       若提前执行,期权多方的收益为Sn-X
      若不提前执行,标的资产价格为Sn-Dn
       在tn时刻期权的价值为
Cn≥Max(Sn-Dn-Xe-r(T-tn),0)
如果: Sn-Dn-Xe-r(T-tn)≥Sn-X
即Dn≤X[1-e-r(T-tn)]
则在tn时刻提前执行是不明智的。
如果: Dn>X[1-e-r(T-tn)]
则在tn时刻提前执行是明智的。
对于任意i<n,在ti时刻不能提前执行的条件是:
Dn≤X[1-e-r(ti+1-ti)]

假设一种一年期的美式看涨期权,标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日,每个除权日的红利期望值为0.1元,标的股票当前的市价为50元,期权的敲定价格为50元,标的股票波动率为每年30%,无风险连续复利利率为10%,求该期权的价值。

首先确定该期权是否应提前执行。其条件为
Di≤X[1-e-r(ti+1-ti)]
第一次除权日前,不等式右边为:
X[1-e-r(t2-t1)]=50×(1-e-0.1×0.5)=2.4385﹥1
故在第一次除权日前期权不应执行。
第二次除权日前不等式右边为:
X[1-e-r(T-t2)]=50×(1-e-0.1×0.0833)=0.4148﹤1
因此在第二个除权日前有可能提前执行。
解:1年期欧式看涨期权价格
红利现值为:
1×e-0.1×0.4167+1×e-0.1×0.9167=1.8716
则S=50-1.8716=48.1284,则有
c12=48.1284N(d1)-50e-0.1×1N(d2)
    =48.1284N(d1)-45.2419N(d2)
其中,d1=[ln(48.1284/50)+(0.1+0.09)/2]/0.3√1=0.3562
            d2=0.3562-0.3√1=0.0562
由于,N(0.3562)=0.6392, N(0.0562)=0.5224
因此
c12=48.1284×0.6392-45.2419×0.5224
     =7.1239
解:11个月期欧式看涨期权价格
红利现值为:
1×e-0.1×0.4167=0.9592
则S=50-0.9592=49.0408,则有
c11=49.0408N(d1)-50e-0.1×0.9167N(d2)
    =49.0408N(d1)-45.6203N(d2)
其中,d1=[ln(49.0408/50)+(0.1+0.09)/2]/ 0.3√0.9167=0.3952
d2=0.3952-0.3√0.9167=0.1080
因此
c11=49.0408×0.6536-45.6203×0.543=7.2824
由于c11﹥c12,故该美式看涨期权价值的近似值为7.2824元。
公司股票认股权证(Warrants)的定价
考虑某个公司发行N股股票和M份欧式认股权证。假设每份认股权证可使其执有者在T时刻以每股X的执行价格向该公司购买股股票。
设T时刻该公司的股权值为VT ,认股权证的执有者执行了认股权证,则该公司获得MX现金流收入,从而公司股权值增长到VT + MX。这个值在N+M股中进行分配。
这样认股权证执行后的瞬间时刻,股票的价格为:
(VT+MX)/(N+M)
认股权证执有者的盈利为
[(VT+MX)/(N+M)-X]=[N /(N+M)](VT/N -X)
Warrants的定价(续1)
只有当盈利为正时,认股权证才会被执行。故认股权证的收益为
W(T)=N/(N+ M)max{ VT/N-X,0}
上式说明任股权证等价于N/(N+ M)份基于V/N而执行价格为X的常规看涨期权
设零时刻公司的价值为V0 ,股票的价值为S0 ,Warrants的价值为W,则在零时刻有:
V0 =NS0 +MW

V0/N= S0 +(M/N)W
Warrants的定价(续2)
Warrants的价格用以下方法对Black-Scholes定价公式可得:
(1)用S0 +(M/N)W代替S0 ;
(2)变动率变为公司权益的变动率;
(3)W(0)= N/(N+ M)×c
第七章 风险中性分析
本章内容
1.风险中性假定
2.风险中性定价
风险中性
风险厌恶、风险中性和风险喜好
公平的赌博:赌博结果的预期只应当和入局前所持有的资金相等,即赌博的结果从概率平均的意义上来说应当是不输不赢。
在没有风险补偿时,风险厌恶的人拒绝公平的赌博;风险中性的人愿意无条件地参加公平赌博;风险喜好是赌徒的典型的心态。
风险中性假设
在一个假想的风险中性世界中,所有的市场参与者都是风险中性的,则所有的资产不管其风险大小或是否有风险,预期收益率都等于无风险收益率。
如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关,则可以将问题放到一个假设中性的世界里进行分析,所得的结果在真实的世界里也应当成立。
风险中性假设与无套利均衡分析
无套利均衡分析过程和结果在真实的世界里应当成立。
例3:假设一种不支付红利股票目前的市场价格为10元,我们知道在3个月后,该股票的价格要么是11元,要么是9元。现在我们要求一份3个月期敲定价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价格。
风险中性定价(Risk-Neutral Valuation)
步骤:
(1)假定标的资产的预期收益率为无风险利率;
(2)计算衍生证券到期日的预期现金流;
(3)将预期现金流以无风险利率折现到即期。
风险中性定价:对远期合约定价
设一个以无红利支付股票为标的资产的远期合约多头,其到期日T的交割价格为ST。
到期日合约的价值为:
ST – K
远期合约在时间t(<T)的价值f为:
f=e-r(T-t)Ê(ST-K)
f=e-r(T-t)Ê(ST)-Ke-r(T-t)
Ê(ST)=Se(T-t)= Ser(T-t)
f=S-Ke-r(T-t)
风险中性定价:对期权的定价
变量m并没有出现在 the Black-Scholes differential equation
该方程不依赖任何受风险偏好影响的变量。
因此微分方程的解在真实世界和风险中性世界都是一样的。
所以,可以用风险中性定价方法来对期权进行定价。
风险中性定价:对期权的定价(续)
考虑一个在风险中性世界中的欧式看涨期权,其在到期日的价值为
 Ê[max(ST –X,0)]
期权的价值为
c=e-rT Ê[max(ST –X,0)]
 

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